声波的传播和衰减

声波的传播和衰减

一、声波在空气中的传播和衰减

1、声波方程

声振动必须满足三个基本的物理定律，即牛顿第一定律、质量守恒定律以及描述压强、温度、体积等状态参数的状态方程。应用这三个定律可以推导出声波传播中的连续性方程、运动方程和物态方程，并进一步得到波动方程—— 、 和 对时间空间坐标的偏微分方程。作如下假设：①媒质为理想流体，即媒质中不存在黏滞性，声波传播时没有能量损失;②没有声扰动时，媒质在宏观上是静止的、均匀的，因此媒质中静压强 、静态密度 都是常数;③声波传播时，媒质中稠密和稀疏的过程是绝热的;④假设是小振幅声波，即满足：

声压 比大气压 要小得多，即 ;

质点的位移 比波长 要小得多，即 ;

质点振动速度 比声速 要小得多，即 ;

介质密度的相对变化要远远小于1，即 。

上述假设称为理想流体媒质小振幅假定。可以分别推导连续性方程、运动方程和物态方程。

(1)连续性方程：是物质不灭定律在流体运动描述中的数学应用。对体积元 ，单位时间流入 的质量与流出 的质量之差等于该体积元内质量的变化率。由此可得体积元 在x、y、z方向上质量的增量。

并由此得到单位时间 内总的质量增量的矢量形式如下式， 为拉氏算子。

(2)运动方程

运动方程是声压对于距离的梯度等于媒质密度和质点振动速度乘积的负值。在声场中取一体积元 ，当有声波作用于体积元上，各方向的压强将发生变化。设体积元在静止时的压强为 ，密度为 ，声波产生的瞬时声压为 ，因体积元足够小，可认为作用在各面的压力均匀。对 方向，利用简单力学分析和牛顿第二定律得：

由于是小振幅声波，其密度的变化可忽略，即 ，可得声波在 、 、 三个方向产生的加速度分别为：

式中： ——瞬时声压，Pa;

、 、 ——质点振动速度 在 、 、 三方向上的分量。

可得到运动方程，式中 为拉普拉斯算符。

(3)物态方程

媒质在声波作用下，引起压缩、膨胀的交替变化，媒质的密度和压强都发生了变化，即媒质的状态发生了变化。声波传播时，理想状态下媒质的密度发生变化，而没有能量的损耗，即为等熵绝热过程。

物态方程一般可写作： 考虑绝热条件，上式简化为： 理想状态的物态方程为： (4)波动方程

联立理想液体媒质中三个基本方程：连续方程式、运动方程式和物态方程式，可推出理想液体媒质中小振幅传播的 、 、 中任意变量的波动方程，得到以下三式：

声压波动方程： 密度波动方程： 振速波动方程： 波动方程分别反映了声压、密度、振速随时空变化的关系。式中拉普拉斯算子 在直角坐标系中展开为：

推导波动方程时，只是从媒质的基本特性出发，利用牛顿第二定律、物质守恒定律和绝热压缩方程，并未涉及声源及声场的具体情况，因此波动方程只反映声波在媒质传播过程的一般物理特性。

2、声波在空气中的传播

从理想液体媒质中的小振幅声波波动方程可看出，声压是空间和时间的函数，可以用来描述不同地点在不同时刻的声压变化规律。根据声波传播时波阵面形状的不同，可将声波分为平面波、球面波和柱面波。

(1)平面波

当声波的波阵面是垂直于传播方向的一系列平面时，称其为平面声波。

在平面波情况下， 只和 有关， ，故平面波的波动方程为：

其解为：

式中，符号“+”表示声波沿 负方向传播，符号“—”表示声波沿正方向传播，A为声压的幅值。

对于沿 正方向传播的简谐平面声波，声压的表达形式为： 式中， ，称为波数。可令 。

质点的振动速度为： ，式中 称为质点振动的速度振幅。

声波传播中一个重要的参数——声阻抗率，只与介质的密度 和介质中的声速 有关，而与声波的频率、振幅无关，单位是 。

平面波的特征阻抗为： 平面声波传播时具有下述特性：声压和质点速度同相位;在理想介质中声压不随距离变化;介质的质点速度也不随距离变化;空气的特征阻抗是常数;平面波的声强 ;平面波的声功率 。

(2)球面波

声波以球面波传播时， 只和球面坐标的 有关，其波动方程为：

令 代入上式得： 与平面波的波动方程一致，由此得到球面波的解的一般形式为：

式中，前项代表声波以速度 沿半径向外发散的球面波，后项代表向球心会聚的球面波(反射波)，在无限空间条件下不存在反射波。如果振动是简谐方式的，则上式变为：

根据运动方程得到径向质点振速与声压的关系：

因此球面波的声阻抗率为： 与平面波不同，辐射球面波时介质的声阻抗率是负数，它具有纯阻和纯抗两部分，并与半径 、波长 有关。因此，声压与质点不同相。球面波声阻抗的幅值为 ，它比平面波的声阻抗率要小。距离声源大时( )，声阻抗率接近平面波的特征阻抗。

球面声波通常具有如下的传播特性：

①理想介质中声压与球面波的半径成反比。

②声压与振速间的相位差与 成反比。

③介质声阻抗率为复数，当球面波半径很大时纯抗分量可以忽略。

④半径很大时声强 ，声强与距离平方成反比。